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sábado, 8 de octubre de 2016

Nash nunca refutó a Adam Smith: las mentiras de la película “Una mente maravillosa”



Recientemente, el 23 de Mayo de 2015, John Forbes Nash premio Nobel de Economía y su esposa la salvadoreña Alicia Lardé murieron en un accidente de Taxi.  John Nash no sólo es premio Nobel de Economía sino que creo un concepto de equilibrio fundamental en la Teoría de Juegos: el equilibrio de Nash (en su tesis doctoral de 1951), concepto angular en el desarrollo de muchas ramas de la economía y política. Sin embargo es conocido por la película Una mente maravillosa en España, Una mente brillante en Hispanoamérica (A Beautiful Mind, Ron Howard, 2001). Resultó ganadora de cuatro Oscars: mejor película, mejor director, mejor actriz de reparto a Jennifer Connelly que interpreta a Alicia Lardé (en la película no se refleja su ascendencia salvadoreña). Rusell Crowe que interpreta a Nash fue nominado a mejor actor, también fue nominada por mejor banda sonora, mejor montaje y menor maquillaje
Los interpretados y los interpretes

Akiva Goldsman ganó el Óscar a mejor guion adoptado. La película está basada en la brillante y docta biografía sobre John Nash, escrita por Sylvia Nasar y titulada igual que la película. Innegablemente la película es recordada por el drama personal de Nash que sufre de esquizofrenia, de sus miserias y como supera la enfermedad. Pero el hito intelectual de la película se concreta en una idea fuerza: Adam Smith se equivoca.

Veremos la escena más importante de la película que versa sobre el legado intelectual que a la postre le valió el premio Nobel de Economía de 1994… más que nada porque todo es… incierto.


La escena más importante de la película: Adam Smith se equivoca

El juego de la Rubia: Atacar a las amigas no es equilibrio de Nash

En la escena Nash describe un juego al que llamaré: El juego de la Rubia. Lo primero y más sangrantes es que la solución que da Nash en la película a este juego: no atacar a la Rubia e ir directamente por las amigas no es equilibrio de Nash. Lo que supuestamente inspiro la creación de su equilibrio: ¡Lo incumple!
Imaginemos que sólo juegan Martín Hansen (interpretado en la película por Josh Lucas , el que lleva la voz cantante en la conversación con Nash)  y Nash. En el Anexo presento este mismo juego cuando es jugado por Nash, Hansen y un tercer doctorando, demostrando  que las conclusiones son exactamente las mismas y que tampoco varían si ampliamos el número de jugadores.  
Nash y Martín deben decidir cuál de las dos estrategias van a llevar a cabo: atacar a la Rubia (Rub) o atacar a una de las amigas (Ami). Por lo tanto el juego en forma normal se puede representar con una matriz 2 por 2.
Figura 1. Juego en forma normal. Nash elige filas y Hansen elige columnas

Vamos a rellenar las casillas con los pagos que obtienen Nash y Hansen en cada una de las cuatro posibles situaciones. Como hay dos jugadores, cada casilla contendrá dos letras (o números). El primer número de cada casilla es el pago (lo que obtiene) Nash ya que él elige ”filas”, el segundo número de cada casilla es el pago de Hansen ya que él elige “columnas”.
Existen tres situaciones finales posibles para cada uno de los jugadores:
                La mejor (con el pago A) el jugador consigue conquistar a la Rubia.
La segunda mejor (con  el pago B) el jugador consigue conquistar una amiga.
La peor (con el pago 0) es no conquistar ni a la Rubia ni a una de sus amigas.
Obviamente A > B > 0.

Primera casilla, ambos jugadores deciden atacar a la Rubia. Según dice Nash en la escena:

“…Si la atacamos todos, nos obstaculizamos y ninguno de nosotros se la lleva. Así que vamos a por las amigas, y nos ignoran, porque a nadie le gusta ser el segundo plato.  …”

Luego ambos jugadores se quedan sin conquista, obteniendo un pago de 0 cada uno de ellos. Cuarta casilla. Ambos atacan a las amigas. Según dice Nash en la escena:

“…Pero y si nadie va a por la rubia, no nos obstaculizamos y no ofendemos a las otras chicas, victoria asegurada.  Y todos echaríamos un casquete.  …”.

Ambos conquistan una amiga obteniendo el pago B.
Segunda casilla (idéntica, pero inversa a la tercera casilla). ¿Qué pasa si un jugador decide atacar a la Rubia y el otro jugador a la Amiga?  Situación que no se analizada en la película. Al no estorbarse ambos jugadores es más que presumible que ambos conquisten a la chica que ha atacado, obteniendo un pago de A el que atacó a la Rubia y un pago de B para el que atacó a la amiga. Se podría argumentar que no hay certeza en la conquista de la Rubia aunque la ataque un único jugador. Podríamos decir que con una probabilidad p  (0 < p  < 1) sí se conseguiría conquistarla y con probabilidad (1 – p) no se consigue.  Esta cuestión no alteraría en absoluto el resultado del juego siempre que se cumpliera: pA > B > 0, ya que pA es el pago (en este caso pago esperado) que obtiene el jugador que ataca a la Rubia.

Figura 2: El juego en forma normal con todos los pagos A > B > 0
El equilibrio de Nash es aquella situación “sin arrepentimientos”. Es un equilibrio de Nash aquella combinación de estrategias (una por cada jugador) donde ningún jugador se arrepiente de su decisión, dada la decisión de los demás jugadores. Es decir, dado lo que hacen los demás jugadores el jugador está escogiendo la estrategia que le consigue el mayor pago.

Función de Reacción, encontrando/entendiendo el equilibrio de Nash.

Para encontrar el equilibrio de Nash debemos encontrar, para cada jugador, cual es la mejor respuesta (la que le reporte el mayor pago) a cada posible situación, es decir para cada combinación posible de jugadas de los demás jugadores cual es la mejor decisión del jugador analizado.
Empecemos por encontrar la función de reacción del jugador Nash, por eso los pagos correspondientes a Hansen (los segundos números) los desvanecemos ligeramente ya que no juegan ningún papel. Imaginemos que Hansen decide atacar a la Rubia (es decir fijamos la columna Rub, por eso queda sombreada en gris su otra estrategia pues no es relevante en este análisis (ver figura 3)): Nash puede hacer dos cosas atacar a la Rubia (escoger la primera fila (Rub)) y obtener 0 (el primer número de la Casilla 1) o puede atacar a la Amiga (escoger la segunda fila (Ami)) y obtener B (el primer número de la Casilla 3). Como 0 < B. Está claro que la mejor respuesta de Nash, si Hansen juega Rub, es jugar Ami. Subrayamos el pago que le corresponde a Nash en esta circunstancia, indicando así que es su mejor respuesta (si ambos pagos hubieran sido iguales habríamos subrayados ambos números).

Figura 3. Si Hansen juega Rub La mejor respuesta de Nash es jugar Ami, por eso su pago de la casilla 3 está subrayado: B.
¿Qué es lo mejor que puede hacer Nash si Hansen juega Ami (ver Figura 4)? Es decir si queda fijada la columna Ami (y por tanto la columna Rub es irrelevante y por eso la sombreamos). Nash puede jugar Rub y obtener A o jugar Ami y obtener B. Como A > B. Lo mejor es jugar Rub. Lógico si Hansen ataca a la amiga, Nash debe atacar a la Rubia. Por eso la A de la casilla 2 está subrayada.

Figura 4. Si Hansen juega Ami, la mejor respuesta de Nash es jugar Rub. Por eso su pago de la casilla 2 está subrayado: A

Es fácil encontrar la función de reacción (la mejor respuesta) de Hansen cuando quedan fijadas las decisiones de Nash, básicamente porque el juego es simétrico. De tal forma que las mejores respuestas de ambos jugadores son:

Figura 5. El juego con las mejores respuestas de ambos jugadores.
Son equilibrios de Nash aquellas combinaciones de estrategias (una estrategia por cada jugador) que tengan todos sus pagos subrayados. Es decir los equilibrios de Nash son las intersecciones (los puntos de corte) de las funciones de reacción de cada jugador. Vemos que hay dos equilibrios de Nash: la casilla 2 y casilla 3. Los equilibrios son:

1.- Nash juega Rub y Hansen juega Ami. Es decir Nash ataca a la Rubia y Hansen a una Amiga
2.- Nash juega Ami y Hansen juega Rub. Es decir Nash ataca a una Amiga y Hansen a la Rubia

Es decir hay dos situaciones donde ninguno de los jugadores se arrepiente de su decisión, dado lo que hace el otro jugador. 
Nótese que la película se equivoca si los dos jugadores atacan a las amigas no es equilibrio de Nash, ya que se arrepienten. Sabiendo que el otro jugador ataca a la Amiga lo mejor es atacar a la Rubia, ya que A > B. Igualmente si ambos atacan a la Rubia no es equilibrio ya que se arrepienten; sabiendo que el otro jugador ataca a la Rubia lo mejor es atacar a la Amiga, ya que B > 0.
Este tipo de juegos, con más de un equilibrio de Nash se conocen como “juegos de coordinación”, siendo el arquetípico juego La Guerra de los Sexos. Y efectivamente el principal problema es ¿Qué acabarán jugando los jugadores? ¿Alcanzarán uno de los equilibrios?
No estamos ante un error “tonto” del guionista, Akiva Goldsman, simplemente es que el equilibrio de Nash no puede refutar o verificar por sí sólo, las teorías de Adam Smith. Pero si le quitamos a la película la escena de Adam Smith se equivoca la película se convierte en el drama personal y familiar de un enfermo de esquizofrenia… lo que seguramente no habría conseguido las nominaciones y los óscar que consiguió. Pero ahora sabemos que quizás; el  Óscar al mejor guion adaptado es excesivo ya que la biografía escrita por Sylvia Nasar no comete esos errores, son invención de Akiva Goldsman.

Adam Smith no se equivocó

Nash nunca refutó a Adam Smith


Si es cierto que Goldsman se puede esconder detrás de un párrafo de Nasar, página 120:

“… Desde 1950, el dilema del prisionero ha generado una extensísima literatura psicológica sobre los factores determinantes de la cooperación y la defección.  A nivel conceptual, el juego pone de relieve el hecho de que los equilibrios de Nash —definidos como la situación en que cada jugador sigue su mejor estrategia suponiendo que los otros jugadores sigan su mejor estrategia— no constituyen necesariamente la mejor solución desde el punto de vista general del grupo de jugadores. De ese modo, el dilema del prisionero contradice la metáfora de Adam Smith sobre la «mano invisible» del mercado: cuando cada participante persigue su interés individual, no necesariamente promueve el máximo interés colectivo. …”
La solución del dilema del prisionero: ambos presos se delatan y por eso pagan la máxima condena de cárcel, que si es un equilibrio de Nash es buena para el interés general, para la sociedad y es “malo” para los dos presos. Luego si se defiende el interés colectivo, el interés general. Cuando Nasar dice que “no necesariamente promueve el máximo interés colectivo” el adjetivo colectivo ÚNICAMENTE se refiere a los jugadores, es decir a los dos presos.  Todos los juegos del tipo dilema del prisionero aplicados a la economía comparten esta circunstancia: el único equilibrio de Nash es lo mejor que le puede pasar a la sociedad, pero no es lo mejor para los jugadores. De hecho la situación buena para los jugadores es mala para la sociedad, y por eso la sociedad lo persigue: tribunal de competencia en España o el Antitrust Law en los EE.UU.
 Sin embargo sí es cierto que hay juegos donde el equilibrio de Nash es mala para la sociedad (ineficiente es el término usado), y efectivamente esos jugadores buscan lo mejor para ellos mismos, de hecho los jugadores siempre buscan lo mejor para ellos mismos… sino no sería un juego. Pero por eso no se refuta a Adam Smith, cuando un ladrón roba ¿no busca su mejor interés y no es malo para la sociedad?
“La mano invisible de Adam Smith” es decir la competencia perfecta no se puede representar como un juego, dado que no hay comportamiento estratégico, da exactamente igual lo que haga el jugador, no afecto al resultado general, ya que cada jugador es minúsculo y su decisión es irrelevante para el conjunto. Cuando esta característica deja de existir, cuando la decisión de cada individuo afecta al mercado abandonamos el mercado competitivo y pasamos a la competencia imperfecta. El primer economista en describir esta situación fue el Antoine Augustin Cournot que en 1838 presentó un modelo de empresas oligopolísticas cuyo equilibrio fue el primer equilibrio de Nash… 113 años antes de la tesis doctoral de John Nash.
Cournot inventó el equilibrio de Nash 113 años antes que Nash.

Que nadie le advirtiera a Nash que su equilibrio ya existía no es fallo suyo, sino de sus directores de tesis. En estricto honor a la verdad este equilibrio se debe denominar equilibrio de  Cournot y Nash, pero ya sabemos cómo son los anglosajones para estas cosas... o sino pregúntenle a Gottfried W. Leibniz sobre un total Isaac Newton y el invento del Cálculo infinitesimal.

By PacoMan

ANEXO: El juego de la Rubia con tres jugadores.

Estamos ante un juego 2x2x2: Nash elige filas, Hansen columnas y el tercer jugador matriz. Es decir que se puede representar con dos matrices 2x2. Cada casilla contendrá tres pagos: el primero para Nash, el segundo para Hansen y el tercero para el tercer jugador.
De igual forma se obtiene la función de reacción de cada jugador dado lo que hacen los otros dos jugadores, subrayando el pago o pagos mayores. De nuevo será un equilibrio de Nash aquella casilla (en realidad la estrategia de cada jugador que permite alcanzar esa casilla) con todos sus pagos subrayados. Obviamente nada garantiza que haya un equilibrio, de haberlo no hay garantías que sea único, como en este caso que hay tres… como no podía ser de otra manera. Es equilibrio de Nash cuando uno de los jugadores ataca a la Rubia y los otros dos a una de sus amigas.


Figura 6. Los equilibrios de Nash del juego de la Rubia con tres jugadores.
Si ampliásemos el juego a n jugadores encontraríamos n equilibrios de Nash, donde uno de los jugadores atacase a la Rubia y el resto a sus amigas.

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